Распространение коронавируса подчинено математически известным формулам экспоненциального роста в такой чистой форме, что это сразу вызывает беспокойство. Как математика отражает распространение пандемии, на страницах Postimees пишет математик Юхан Ару.
С веб-сайта Университета Джона Хопкинса любой может загрузить необработанные данные о распространении коронавируса в разных странах, распечатать их в Excel и заставить программу нарисовать несколько графиков:
Ось Y на рисунке представляет собой количество зарегистрированных событий, а каждая точка на оси X означает новый день. В Италии болезнь развивается быстрыми темпами, но есть ли что-нибудь еще спокойное? Отметим, что в Италии рост новых случаев сначала был медленным, а затем резко ускорился. Но насколько быстрым он станет? И стоит ли ожидать такого же поведения в другом месте? Если сегодня будет десять случаев, сколько будет через десять дней? Сколько будет зараженных через двадцать дней? Это расчеты, по которым которые органы здравоохранения ежедневно следят за эпидемиями.
Давайте подумаем о распространении вируса, выдвинем несколько гипотез и затем вернемся к тем же графикам. Как распространяется вирус? Кто-то заражается и непреднамеренно заражает других - возможно, случайно кашляя на них или касаясь их лиц.
Одним из распространенных способов описания распространения вируса является дерево заражения: мы рисуем дерево в корне первого заболевания, где каждый узел представляет собой одного зараженного, а ветви, начинающиеся из одного и того же узла, описывают заразившихся от одного и того же человека. Распространение инфекции затем описывается эволюцией этого дерева.
Предположим, во-первых, что каждый зараженный человек передает вирус ровно одному человеку, например, в течение одного дня. Эта схема проиллюстрирована на рисунке 2 слева - через 3 дня - 3 пациента, через 10 дней 10 пациентов, через 100 дней - 100 пациентов.
С другой стороны, предположим, что каждый зараженный человек передает вирус ровно двум людям, и снова в течение трех дней. Это показано деревом справа на рисунке 2 - через 3 дня 1 + 2 + 2 * 2 + 2 * 2 * 2 = 15 зараженных, через 10 дней - 2047, а через 100 дней - уже 10 в 30-й степени!

Такой космический рост описывается экспоненциальной функцией N (x) = R0x. Связь между передачей заболевания и экспоненциальной функцией была хорошо известна в течение почти ста лет и была тщательно изучена. Давайте посмотрим на пример, где R0 = 2 или N (X) = R0x.
Если в 1-й день заражен один человек, то на следующий день уже есть 2 новых инфицированных и через 10 дней - около 1000. Хотя в реальной жизни распространение вируса происходит не так строго - иногда заражается один новый человек, иногда 2, иногда 17, а, кроме того, люди выздоравливают и со временем приобретают иммунитет - рост распространения вируса все-таки описывается экспоненциальной функцией.
Другими словами, в начальной фазе почти каждого заболевания, в день N, мы можем описать число новых заболевших в виде R0N, а R0 - это реальное число, которое описывает распространение заболевания и называется базовой скоростью размножения заболевания. Число R0 можно интерпретировать следующим образом: если в день N число заболевших равно K, то в день N + 1 число заболевших приблизительно равно K * R0, принимая во внимание как новую заболеваемость, так и выздоровление. Если R0 больше единицы, заболеваемость будет больше, чем уровень выздоровления, и болезнь будет распространяться в геометрической прогрессии, как показано на рисунке 2 деревом справа. Когда R0 = 1, ситуация достаточно стабильна, что описывается деревом слева. Когда R0 <1, количество пациентов начинает уменьшаться.
Теперь мы нашли упрощенную модель распространения вируса. Но как это соответствует реальности? Давайте еще раз посмотрим на начало статьи, но на этот раз высота строки будет означать не число заболевших, а его логарифм, то есть каждая точка представляет число M, где 2M = количество случаев заболевания. Если рост действительно экспоненциальный, линия должна быть довольно красивой и прямой - действительно, если мы возьмем логарифм экспоненциальной функции R0x, то это будет просто прямая линия x * log R0. Более того, прямой наклон дает нам значение постоянной воспроизведения R0. Теперь давайте посмотрим на этот новый рисунок: